年德国物理学家劳厄发现了X射线通过晶体时产生衍射的现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结构的周期性。英国物理学家小布拉格（W.L.Bragg）经过反复研究，以更简洁的方式解释了X射线晶体衍射的形成，提出了著名的布拉格方程，以此为基础的各种X射线衍射仪很快进入商品化生产，对各种未知晶体的分析和研究工作迅速崛起。
今天，就让我们一起走进X射线的世界吧！
X射线衍射分析的基本理论
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1劳厄方程年德国物理学家劳厄首次通过实验证实了X射线通过晶体时会产生衍射，为了解释该衍射现象，劳厄推出了三维衍射方程组，或称劳厄方程（1）。
式中α、β、γ为衍射X射线分别与点阵的3个晶轴a、b、c的夹角；α0、β0、γ0为入射X射线分别与点阵的3个晶轴a、b、c的夹角，H、K、L分别称为劳厄第一、第二和第三干涉指数。为了获得X射线衍射花样，劳厄法引入了变量λ（波长），使得该方程组有解。用白色X光照射静止不动的晶体（当时还没有单色X光），以得到确定的衍射花样的方法称为劳厄法。
2布拉格方程小布拉格利用光学原理，采用图9所示的几何模型推导出了布拉格方程。
图1（a）示意出了垂直于纸面的一列晶面族，其指数为（hkl），相邻两个晶面的间距为dhkl（简称d）。当波长为λ的入射X射线和这些晶面相遇时，入射X射线束的波前在P、Q、R时位相相同，它们分别被晶面1上的原子A、B、C所散射。可以证明，当反射线的方向满足“光学镜面反射条件”时，各原子的散射线位相相同，此时任意两个相邻原子（例A和B）的散射线的光程差δ为0（δ=0），即：
δ=PAP’-QBQ’=ABcosθ-ABcosθ=0（2）
图1布拉格定律的导出几何模型
所以，当入射线束受到单层原子面平面“反射”时，可以认为在任何投射角θ的情况下都可以得到这种“反射”。但在包含无限多晶面的晶体中，就不能这样认为，如图1（b）所示的入射的X射线PA受到晶面1的原子A散射，另一条平行的入射线QA′受到晶面2的原子A′散射，如果散射线AP′、A′Q′在P’、Q’处为同位相，则PAP’和QA’Q’间的光程差为X射线波长λ的整数倍，否则它们将相互干涉抵消而不发生衍射，即：
QA’Q’-PAP’=SA’+A’T=nλ（3）
其中，n为干涉基数，必为整数，即n=0、±1、±2…。
因为
SA’=A’T=dsinθ（4）
将式（4）代入式（3）得：
2dsinθ=nλ（5）
这就是著名的布拉格方程，或称布拉格定律。式中，θ为入射线或反射线与晶面间的夹角，也称掠射角或布拉格角；入射线与衍射线之间的夹角为2θ，称为衍射角，n为整数，称为干涉基数，d为晶体晶面间距，λ为入射X射线波长。由于布拉格方程十分简洁地表明了晶面间距（d）、入射X射线波长（λ）和布拉格角（θ）之间的关系，所以已被广泛的应用于X射线衍射分析技术中。
3埃瓦尔德球利用倒易点阵的概念也可以导出倒易空间中表示衍射条件的矢量方程式。
式中S0和S分别为入射方向和衍射方向的单位矢量，λ为入射X射线波长，Hhkl为一倒易矢量。
方程（6）也可以用几何形式来表达，见图2，设λ为入射X射线波长，以1/λ为半径做一圆，圆心为S，使SO*=S0/λ，SP=S/λ，O*为倒易点阵的原点，则有
O*P=SP-SO*=(S-S0)/λ（7）
O*P=H（8）
由图2的几何关系看出，产生衍射的几何条件时倒易点Phkl（对应于正点阵中晶面（hkl））必须在圆上，才能满足关系式SP=S/λ，从而也一定满足矢量方程式：
O*P=(S-S0)/λ=H（9）
图2埃瓦尔徳图解的几何关系
反之，若倒易点P在圆外或圆内，因SP≠S/λ，所以O*P≠(S-S0)/λ，则倒易点P所代表的晶面不能产生衍射。因为任何倒易点Phkl只要和这个圆面相遇时就表示相应的晶面（hkl）产生衍射（或“反射”）。
图2被称为埃瓦尔德平面几何图解。用同样的方法，以S为原点，以1/λ为半径做一球面，在三维空间里，X射线衍射同样遵循这个规律，任一倒易点只要落在球面上，该倒易点对应的正空间晶面就满足衍射条件，可产生衍射，衍射方向就是原点S与此倒易点的连线方向。这个球就称为埃瓦尔德球，也称发射球，以这种方式解决衍射方向的方法称为埃瓦尔德图解法。
选自：《理化检验—物理分册》Vol..8
作者：王荣，教授级高工，上海材料研究所
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